Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）．
（1）求证：{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|++|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由题设条件先推导出an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2），a2+2a1=15，由此可知数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
（2）由an+1+2an=5•3n和待定系数法能够求出数列{an}的通项公式．
（3）由3nbn=n（-2）n，可知bn=n（-）n，令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=（）2+2（）3+…+（n-1）（）n+n（）n+1，得Sn=6[1-（）n]-3n（）n+1＜6，由此能求出m的取值范围．
【解析】
（1）由an+1=an+6an-1，an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2）
∵a1=5，a2=5∴a2+2a1=15
故数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得an+1+2an=5•3n由待定系数法可得（an+1-3n+1）=-2（an-3n）
即an-3n=2（-2）n-1故an=3n+2（-2）n-1=3n-（-2）n（9分）
（3）由3nbn=n（3n-an）=n[3n-3n+（-2）n]=n（-2）n，
∴bn=n（-）n
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=（-）+2（）2+3（）3+…+n（）nSn
=（）2+2（）3+…+（n-1）（）n+n（）n+1（11分）
得Sn=+（）2+（）3+…+（）n-n（）n+1
=-n（）n+1
=2[1-（）n]-n（）n+1
∴Sn=6[1-（）n]-3n（）n+1＜6
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，只须m≥6（14分）