Question

已知x=1是函数f（x）=的极值点．
（I）求a的值；
（II）当b=1时，讨论f（x）的单调性；
（III）当b∈R时，函数t=f（x）-m有2个零点，求实数m的取值范围．

Answer

（I）由题意可得：f′（x）=[x2+（a+2）x+a]ex，结合题意可得：f′（1）=0，即可求出a的数值．
（II）当x≤0时，f（x）=x，得f（x）在（-∞，0]上单调递减；当x＞0时，=，得分析出函数的导数与0的大小，进而结合导数的意义可得函数的单调区间．
（III）首先把函数的零点转化为两个图象的交点问题，再根据（II）可得x、f′（x）、f（x）的关系，即可分析出函数的单调性与函数的极值，进而结合函数的大致图象单调答案．
【解析】
（I）当x＞0时，f（x）=（x2+ax）ex，
所以f′（x）=[x2+（a+2）x+a]ex．
又因为x=1是函数f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
解得．
（II）当x≤0时，f（x）=x，
所以根据一次函数的性质可得：f（x）在（-∞，0]上单调递减；
当x＞0时，f（x）=，所以=．
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，所以函数在（0，1）上单调递减．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数在（1，+∞）上单调递增．
即b=1时，f（x）的增区间为（-∞，0），（1，+∞）；减区间为（0，1）．
（III）由（II）可得下表：

                     x                         （0，1）                                1                       （1，+∞）
                   f′（x） ＜                                 0 ＞0
                   f（x）                          减                        极小值                         增

则．
要使函数f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与y=m的图象有两个交点，结合f（x）的大致图象可得：
当b＞0时，m=0或者m=-e；当b=0时，m∈（-e，0）；当b＜0时，m∈（-，+∞）．