Question

已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，且l总与以原点为圆心的单位圆相切．
（I）求该椭圆的方程；
（II）当且满足时，求S_△AOB的取值范围．

Answer

（I）由抛物线y2=4x可知焦点为（1，0），准线为x=-1，椭圆截直线x=-1所得的弦长为得上交点为（-1，），代入结合1=a2-b2可求
II）由直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切可得，由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，△=8k2＞0可得k≠0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，而=，结合可求k的范围，根据表示所求的面积，结合基本不等式可求
【解析】
（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=-1
∵椭圆截直线x=-1所得的弦长为得上交点为（-1，），代入得，且1=a2-b2
∴b2=1，a2=2
∴椭圆方程为
（II）∵直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切
∴即m2=k2+1
由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0
△=8k2＞0可得k≠0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
∴=λ，
由可得，即
∵=
令u=k4+k2∵∴，
∴