Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据题中给出的式子先求出当n=1和n=2时，an的表达式，再用公式求出当n≥3时，an=Sn-Sn-1=2n-4，最后综合可得数列{an}的通项公式；
（2）首先根据m=1和m=2验证am，am+1，am+2成等比数列是否成立，然后讨论当m≥3时，假设am，am+1，am+2成等比数列成立，用等比中项列式列式，得到矛盾，从而说明m≥3时am，am+1，am+2成等比数列不成立．最后综合可得正确结论．
【解析】
（1）当n=1时，a1=1
当n=2时，S2=2，∴a2=S2-a1=1…（2分）
当n≥3时，an=Sn-Sn-1=2n-4
∴…（6分）
（2）①当m=1时a1=1，a2=1，a3=2不能成等比数列…（8分）
②当m=2时a2=1，a3=2，a4=4，成等比数列…（10分）
③当m≥3时，若am，am+1，am+2成等比数列，
则am•am+2=am+12即（2m-4）•2m=（2m-2）2 
得4=0矛盾，不可能成立 …（9分）
综上所述，得存在m=2使得am，am+1，am+2成等比数列…（14分）