Question

设多面体ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形，若∠ADC=120°，AD=2，AB=2，CD=4，EF=3，G为BC的中点．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer

（1）由题意得：GH∥EF且GH=EF，则可得EFHG为平行四边形，故EG∥FH又FH⊂平面ADF所以EG∥平面ADF
（2）FH⊥平面ABCD，且EG⊥平面ABCD可得∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角，解三角形△EGD得，．
所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．
（1）证明：如图，设H是AD的中点，可得GH=3，则GH=EF，
又∵GH∥CD，EF∥CD
∴GH∥EF，则EFHG为平行四边形，
故EG∥FH，
又∵FH⊂平面ADF
∴EG∥平面ADF；
（2）【解析】
∵△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形．
∴FH⊥AD，
又∵平面ADF⊥平面ABCD
∴FH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角
∵∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，
又∵AB=AD=2，∴BD=2∴∠ADB=60°，
又∵CD=4，由余弦定理
∴∠DBC=90°，，
∴
又∵EG=FH=1，∴，
∴
所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．