Question

设x=-是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若方程f（x）=在区间[-a，a]（a＞0）上恰有两个不同的实根，求a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，利用x=-是函数f（x）=x3+mx2+mx-2的一个极值点，可得，从而可求m的值
进而可得函数的单调性，故可求f（x）的极大值与极小值；
（2）对参数a进行分类讨论：当0＜a＜1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，从而方程在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根；当a＞1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在[1，a]上单调递增，从而方程在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根；当a=1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，方程有两个根，故得解．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2mx+m …（1分）
∵x=-是函数f（x）=x3+mx2+mx-2的一个极值点，
∴
∴m=-1      …（3分）
∴f（x）=x3-x2-x-2，f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1）

x 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

∴f（x）有极大值，极小值f（1）=-3     …（5分）
（2）当0＜a＜1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减
∵=
∴在f（-a）与f（a）之间
∴方程在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（9分）
当a＞1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在[1，a]上单调递增
∴f（x）有极小值f（1）=-3
又∵
∴方程在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（12分）
当a=1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减
此时f（-1）=f（1）=-3
∴方程有两个根为±1．…（14分）
综上所述：a=1．…（15分）