Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer

由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．
（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论
（2）多面体A-CDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积．
【解析】
由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2，∴∠CBF=．
（1）证明：取BF的中点G，连接MG、NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．

（2）取DE的中点H．
∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=．
S矩形CDEF=DE•EF=4，
∴棱锥A-CDEF的体积为
V=•S矩形CDEF•AH=×4×=．