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如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,在四边形ABFE中,AB∥E...

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,在四边形ABFE中,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=4,AD=AE=EF=2,平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)求证:AF⊥平面BCF;
(2)求二面角B-FC-D的大小.

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(1)首先利用平面ABFE与平面ABCD互相垂直,结合面面垂直的性质得到AF与CB垂直,然后利用余弦定理在△ABF中计算出BF的长,从而BF2+AF2=AB2,得出AF⊥FB,最后运用直线与平面垂直的判定定理,得到AF⊥平面BCF; (2)分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则有D(2,0,0),C(2,4,0)E(0,0,2),B(0,4,0).分别求出平面CDEF的法向量与平面BCF的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得. 证明:(1)∵平面ABFE⊥平面ABCD,CB⊥AB,平面ABFE∩平面ABCD=AB, ∴CB⊥平面ABFE, ∵AF⊂平面ABFE, ∴CB⊥AF, 在直角梯形ABFE中,AB∥EF,∠EAB=90°,AE=EF=2 ∴AF= ∴∠FAB=45° △ABF中,AB=4,根据余弦定理得: BF= ∴BF2+AF2=AB2, ∴AF⊥FB. ∵CB∩FB=B, ∴AF⊥平面BCF.…(6分) (2)∵平面ABFE⊥平面ABCD,EA⊥AB,平面ABFE∩平面ABCD=AB, ∴EA⊥平面ABCD. 分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 则有D(2,0,0),C(2,4,0)E(0,0,2),B(0,4,0). ∴=(0,4,0),=(-2,0,2). 设=(x,y,z)为平面CDEF的法向量, 则 令x=1,则z=1,则=(1,0,1) 由(1)知=(0,2,2)=2(0,1,1)为平面BCF的法向量.…(10分) ∵,且B-FC-D为钝角, ∴二面角B-FC-D的大小为120°…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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