Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，椭圆F以A、B为焦点且过点D．
（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E满足，是否存在斜率k≠0的直线l与椭圆F交于MN两点，且|ME|=|NE|，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设出椭圆的方程，根据点D在椭圆上，以及c=1，求出 a、b值，即得椭圆F的方程．
（Ⅱ）点斜式设出直线方程代入椭圆的方程，则可得判别式大于0，即4k2-m2+3＞0．由PE⊥MN，斜率之积等于-1，求得m、k间的关系，代入4k2-m2+3＞0 可解得k取值范围．
【解析】
（I）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1，0），B（1，0），D．
设椭圆F的方程为，
由 得4a4-17a2+4=0，∵a2＞1，
∴a2=4，b2=3． 所求椭圆F方程．
（Ⅱ）由得 ．
显然l⊥AB时不合条件，设l方程y=kx+m（k≠0）代入，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即4k2-m2+3＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），中点为P（x，y），|ME|=|NE|等价于PE⊥MN，
∵，∴，．
PE⊥MN，得，得，得m=．
代入△＞0得 ，∵0＜4k2+3＜4 得 ．
又∵k≠0，故k取值范围为k∈．