Question

如图，线段AB过y轴上一点N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y轴的距离之差为4k．
（1）求出以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．

Answer

（1）设出直线AB的方程和抛物线的方程，及A，B点坐标，根据图象可推断出由图可知x1＞0，x2＜0且|x1|-|x2|=4k，进而求得x1+x2，进而根据韦达定理求得x1+x2的表达式，最后建立等式求得p，则抛物线方程可得．
（2）设出C，D坐标，进而可表示出过C，D两点的切线的方程，求得两条切线的交点，设CD的直线方程代入抛物线方程消去y，进而求得才C，D两点横坐标的积，求得点M的横坐标，推断出点M的轨迹方程，表示出，和进而求得的值．
【解析】
（1）AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x2=2py，且A（x1，y1），B（x2，y2），
∵由图可知x1＞0，x2＜0．|x1|-|x2|=4k，
即x1+x2=4k．
把y=kx+m代入x2=2py得x2-2pkx-2pm=0，
∴x1+x2=2pk．
∴2pk=4k，
∴p=2．
故所求抛物线方程为x2=4y．
（2）设．
过抛物线上C、D两点的切线方程分别是．
∴两条切线的交点M的坐标为（）．
设CD的直线方程为y=nx+1，代入x2=4y得x2-4nx-4=0．
∴x3x4=-4，
故M的坐标为（）．
故点M的轨迹为y=1．
∴
∵
而，=-1