Question

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥面BCD，∠ADB=60°，点E、F分别在AC、AD上，使面BEF⊥ACD，且EF∥CD，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先判断∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角，再在△ABC中，求出平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值．
【解析】
由题意，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，
∴AB⊥CD
∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC
∵AB∩BC=B
∴CD⊥面ABC
∵BE⊂面ABC
∴CD⊥BE
∵EF∥CD
∴BE⊥EF
∵面BEF⊥面ACD，面BEF∩面ACD=EF
∴BE⊥面ACD
∵AC⊂面ACD
∴BE⊥AC
∵EF∥CD，EF⊂面BEF，EF⊄面BCD
∴EF∥面BCD
设面BEF∩面BCD=l
∴EF∥l
∴∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角
∵∠BCD=90°，BC=CD=1
∴
∵AB⊥面BCD，∠ADB=60°
∴
在△ABC中，BE⊥AC
∴∠EBC=∠BAC
∵
∴
∴
∴平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为
故选B．