Question

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n∈N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．现用a_n表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和（i，j∈N*）；（其中表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
证明：≤++…+＜（n∈N^*）．

Answer

（1）由题意要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n-1个圆盘转移到B柱上，需要an-1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n-1个圆盘转移到C柱上，需要an-1次转移，所以有an=2an-1+1，利用构造法可求an；
（2）先求得和=，再令，则当n≥2时，从而利用放缩法可证．
【解析】
（1）a1=1，a2=3，a3=7
事实上，要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n-1个圆盘转移到B柱上，需要an-1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n-1个圆盘转移到C柱上，需要an-1次转移，所以有an=2an-1+1则an+1=2（an-1+1）⇒an+1=2n，所以an=2n-1
（2）bn=an+1=2n则
令，则当n≥2时=

又，所以对一切n∈N*有：
另方面cn＞0恒成立，所以对一切n∈N*有
综上所述有：