Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，若数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；（2）设b_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，若数列{b_n}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）根据a1=3，数列{Sn+1}是公比为4的等比数列，可求出Sn的表达式，然后根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1进行求解即可求出数列{an}的通项公式an；
（2）由（1）得bn的通项公式，然后根据数列{bn}是递增数列得bn+1＞bn恒成立，将λ分离出来，讨论n的奇偶，根据恒成立问题的常用方法可求出λ的取值范围．
【解析】
（1）Sn+1=（S1+1）•4n-1=4n，∴Sn=4n-1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3•4n-1，且 a1=3，∴an=3•4n-1，
所以数列{an}的通项公式为an=3•4n-1．…（7分）
（2）bn=n•4n+（-1）n•λan=n•4n+（-1）n•λ（3•4n-1），
数列{bn}是递增数列，得bn+1＞bn⇒，n∈N*
当n为偶数时，，…（10分）
当n为奇数时，，
∴…（13分）
所以．…（14分）