Question

已知抛物线C₁：y²=4x，圆C₂：（x-1）²+y²=1，过抛物线焦点的直线l交C₁于A，D两点，交C₂于B，C两点，如图．
（1）求|AB|•|CD|的值；
（2）是否存在直线l，使，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设直线l：my=x-1，A（x1，y1），D（x2，y2），由，能求出|AB|•|CD|的值．
（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），D（x4，y4），由，知，由此能求出存在直线它的方程为．
【解析】
（1）设直线l：my=x-1，A（x1，y1），D（x2，y2）
由，
得到y1y2=-4，x1x2=1，
∴|AB|•|CD|=（x1+1-1）（x2+1-1）=x1x2=1．…（6分）
（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），D（x4，y4）
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
此时直线，
由，
∴，
|AB|+|CD|=2|BC|⇔|AD|=3|BC|=6，
所以|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，
所以存在直线它的方程为．…（15分）