Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．
（1）求C的大小；
（2）求sinA+sinB的最大值．

Answer

（1）利用正弦定理化简已知的等式，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，把化简后的等式左边再利用两角和与差的正弦函数公式化简，将sin（A+C）化为sinB，根据A和C为三角形的内角，得到cosC为0，进而得到C为直角；
（2）由（1）得到C为直角，可得A与B互余，用A表示出B，代入所求的式子sinA+sinB中，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A为锐角，得到这个角的范围，由正弦函数的图象与性质即可得到所求式子的最大值．
【解析】
（1）由正弦定理及2acosC+ccosA=b得：
2sinAcosC+sinCcosA=sinB，
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π-B，即sin（A+C）=sinB，
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB，
∴sinAcosC=0，又0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0，cosC=0，
则C=；
（2）由（1）得C=，则有A+B=，即B=-A，
∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），
又0＜A＜，∴＜A+＜，
则当A+=，即A=时，sinA+sinB取得最大值，最大值为．