Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C是菱形，∠ACC₁=60°，侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，A₁B=AB=AC=1．求证：
（1）AA₁⊥BC₁；
（2）求点A₁到平面ABC的距离．

Answer

（1）要证AA1⊥BC1．只需证AA1⊥面BDC1，只需证AA1垂直于面BDC1内的两条相交直线，设AA1中点为D，根据A1B=AB，可得BD⊥AA1，利用侧面ABB1A1⊥AA1C1C，可得BD⊥面AA1C1C．根据△ACC1为正三角形，AC1=C1A1，可得C1D⊥AA1，从而得证；
（2）由（1），有BD⊥C1D，BC1⊥CC1，CC1⊥面C1DB，设点A1到平面ABC的距离为h，利用等面积有=，从而可求点A1到平面ABC的距离．
（1）证明：设AA1中点为D，连BD，CD，C1D，AC1．
因为A1B=AB，所以BD⊥AA1．--------------------------2分
因为侧面ABB1A1⊥AA1C1C，所以BD⊥面AA1C1C．----------4分
又△ACC1为正三角形，AC1=C1A1，所以C1D⊥AA1．------6分
所以AA1⊥面BDC1，
所以AA1⊥BC1．----------------------------8分
（2）【解析】
由（1），有BD⊥C1D，BC1⊥CC1，CC1⊥面C1DB
设点A1到平面ABC的距离为h，则=．
因为，CC1=1
∴=，
∵，
∴
∵AB=AC=1，
∴
∴．
即点A1到平面ABC的距离为．----14分