Question

一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，G，H分别为AE，CE中点．
（1）试问：这个多面体是几多面体（不必证明）？
（2）求证：GH∥平面ACF；
（3）当平面ACE⊥平面ACF时，求DE的长．

Answer

（1）直接数出多面体的面的个数即可；              
（2）连接AC，在△ACE中，根据中位线定理可知GH∥AC，又AC⊂平面ACF，且GH⊄平面ACF，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得结论；
（3）连接DB，交AC于O，连接EO，FO，根据ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，则Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，而EO⊂平面ACE，AC⊂平面ACF，AC∩OF=O，只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，设DE的长为x，在Rt△ODE中，求出OE，在Rt△OBF中，求出OF，在直角三角形OEF中利用勾股定理建立等式，解之即可求出所求．
【解析】
（1）是7多面体；                    （4分）
（2）证明：如图，连接AC，在△ACE中，
∵G，H分别为AE，CE中点，∴GH∥AC（6分）
又AC⊂平面ACF，且GH⊄平面ACF，（8分）
所以GH∥平面ACF； （9分）
（3）【解析】
如图，连接DB，交AC于O，连接EO，FO，
∵ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，
∴Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，
∵EO⊂平面ACE，AC⊂平面ACF，AC∩OF=O，
∴只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，（10分）
设DE的长为x，在Rt△ODE中，，
在Rt△OBF中，，EF2=2a2+（x-a）2EF2=OE2+OF2，解得
即平面ACE⊥平面ACF时，DE的长为（15分）
（如求二面角E-AC-E的平面角也可相应得分，但不提倡）