Question

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正弦值．

Answer

（1）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1；可以推得四边形AOC1O1为平行四边形；进而得到C1O∥AO1，再结合线面平行的判定即可证明结论．
（2）先根据直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，得到A1A⊥B1D1；再结合四边形A1B1C1D1为菱形，得到B1D1⊥A1C1；即可得到平面AB1D1⊥平面ACC1A1；
（3）过C作CH⊥AO1交AO1于H，可得CH⊥平面AB1D1；进而得∠CAH是AC与平面AB1D1所成的角；然后通过求三角形的边长即可求出结论．
证明：（1）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1．
在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1=AO，
∴四边形AOC1O1为平行四边形．
∴C1O∥AO1．（3分）
∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，（4分）
∴C1O∥平面AB1D1．（5分）
（2）在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴A1A⊥B1D1．
∵四边形A1B1C1D1为菱形，
∴B1D1⊥A1C1．（7分）
∵A1C1∩AA1=A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，（9分）
∴B1D1⊥平面ACC1A1．
∵B1D1⊂平面AB1D1，
∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1．（10分）
（3）过C作CH⊥AO1交AO1于H．
∵平面AB1D1⊥平面ACC1A1，平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1，
∴CH⊥平面AB1D1．
∴AH为AC在平面AB1D1上的射影．
∴∠CAH是AC与平面AB1D1所成的角．（11分）
设AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴．（12分）
在Rt△AA1O1中，．
∵AO1•CH=AC•OO1，
∴
．∴．（14分）