Question

已知常数a为正实数，在曲线C_n：上一点P（x_n，y_n）处的切线L_n总经过定点（-a，0），（n∈N^*）．求证点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上．（关键是：P_i在同一直线上有三种情况：①x_i相同；②y_i相同；③为常数）

Answer

欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=xn处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．写出切线方程，由Pn（a，）在曲线Cn上可得xn=a，，可证P总在直线x=a上，即P1，P2，，Pn在同一直线上，从而问题解决．
（法二）：由切线过点（-a，0）得切线方程为y=kn（x+a），由方程组可得kn2x2+（2akn2-n）x+kn2a2=0，由△=0可得kn2=，代入到方程中可求得xn=a，即可证
证法一：f（x）=（3分）
Cn：y=上一点P（xn，yn）处的切线Ln的斜率kn=f'（xn）=Ln的方程为y-yn=（7分）
∵Ln经过点（-a，0）
∴=（a+xn）
又∵Pn在曲线Cn上，
∴=
∴xn=a，
∴总在直线x=a上（10分）
即P1，P2，…，Pn在同一直线x=a上 （14分）
证法二：设切线Ln的斜率为kn，
由切线过点（-a，0）得切线方程为y=kn（x+a）（3分）
则方程组的解为，
用代入法消去y化简得kn2x2+（2akn2-n）x+kn2a2=0（*）；（7分）
有△=（2akn2-n）2-4kn2•kn2a2=-4ankn2+n2=0∴kn2=
即=0（10分）
∴x=a即有xn=a，yn=
即P1，P2，…，Pn在同一直线x=a上  （14分）