Question

设不等式组 表示的平面区域为D．区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为2．记点P的轨迹为曲线C．过点的直线l与曲线C交于A、B两点．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率．

Answer

由题意可知，设动点为P（x，y），则|x2-y2|=4．由P∈D，知x2-y2＜0．所以曲线C的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为直径的圆心．以AB为直径的圆L与y轴相切，所以半径|AB|=x1+x2． 设直线AB的方程为y=k（x-2）．代入双曲线方程-=1（y＞0）得，k2（x-2）2-x2=4，由此能求出直线l的斜率．
【解析】
由题意可知，平面区域D如图阴影所示．
设动点为P（x，y），
则，
即|x2-y2|=4．（2分）
由P∈D知x+y＞0，x-y＜0，
即x2-y2＜0．
所以y2-x2=4（y＞0），
即曲线C的方程为（4分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
以AB为直径的圆心．
以AB为直径的圆L与y轴相切，
所以半径 ，
即|AB|=x1+x2． ①（6分）
因为直线AB过点F（2，0），
当AB⊥x轴时，不合题意．（8分）
所以设直线AB的方程为y=k（x-2）．
代入双曲线方程-=1（y＞0），
得k2（x-2）2-x2=4，
即（k2-1）x2-4k2x+（8k2-4）=0．
因为直线与双曲线交于A，B两点，
所以k≠±1．（10分）
所以x1+x2=，x1x2=．
所以|AB|=
=
=|x1+x2|
=||，
化简得：k4+2k2-1=0，（12分）
解得k2=-1（k2=--1不合题意，舍去）．
由△=（4k2）2-4（k2-1）（8k2-4）=3k2-1＞0，
又由于y＞0，所以-1＜k＜-．
所以k=-．（14分）