Question

已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），点C在x轴上方．
（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；
（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆的定义和AC，BC求得椭圆的长轴，进而根据c求得b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）先用正弦定理可知=2R，进而求得R，设出圆心坐标，根据勾股定理求的s，则外接圆的方程可得．
（Ⅲ）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标，进而根据PM=PQ，求得关于x的方程，进而列出方程组，消去m，得到关于n的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况．
【解析】
（Ⅰ）因为AC=5，BC=3，所以椭圆的长轴长2a=AC+BC=8，
又c=2，所以b=2，故所求椭圆的方程为
（Ⅱ）因为=2R，所以2R=4，即R=2
又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为（0，s）（s＞0），
则由4+S2=8，所以△ABC的外接圆的方程为x2+（y-2）2=8
（Ⅲ）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t），因为恒有PM=PQ，所以（x-m）2+（x+t-n）2=x2+（x+t-2）2-8，
即（2m+2n-4）x-（m2+n2-2nt+4t+4）=0，对x∈R，恒成立，
从而，消去m，得n2-（t+2）n+（2t+4）=0
因为方程判别式△=t2-4t-12，所以
①当-2＜t＜6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M
②当t≥6或t≤-2时，因为方程有实数解，且此时直线y=x+t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在．