Question

如图，在函数y=x³-x的图象上取4个点A_i（x_i，y_i），过点A_i作切线l_i（i=1，2，3，4），如果l₁∥l₃，且l₁，l₂，l₃，l₄围成的图形是矩形记为M．
（1）证明四边形A₁A₂A₃A₄是平行四边形；
（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l₁与l₂的斜率，若没有，请证明．

Answer

（1）先设直线li的斜率为ki（i=1，2，3，4），利用导数的几何意义得出切线的斜率，由题意证出A1与A3，A2与A4都关于原点对称，从而得出故四边形A1A2A3A4是平行四边形；
（2）设l1与l3的距离为，l2与l4的距离为列出矩形M的短边与长边的比，令（x＞1）利用导数工具研究其单调性和最值，从而得出矩形M的短边与长边的比有最大值及相应的l1与l2的斜率．
【解析】
（1）设直线li的斜率为ki（i=1，2，3，4），
由y′=3x2-1，得ki=3xi2-（12分）
由题意k1=k3，k2=k4，又点A1A2A3A4不重合，故x1=-x3，x2=-x4，
从而y1=-y3，y2=-y4，-（5分）
因此A1与A3，A2与A4都关于原点对称，
故四边形A1A2A3A4是平行四边形；（7分）
（2）有最大值；      （9分）
设k1＞0，k2＜0li：y-yi=ki（x-xi），即y-kix+2xi3=0，且k1k2=-1
设l1与l3的距离为，l2与l4的距离为（k＞1）（11分）
令（x＞1），
当时为增函数，
当时为减函数，
故当，（14分）
因为 ，
因此矩形M的短边与长边的比有最大值，l1与l2的斜率分别为和，（16分）