Question

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD．直线l：y=-x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．
（1）求证：b²-a²=1；
（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；
（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．

Answer

（1）设椭圆的方程为．由得（1+a2）x2-2a2bx+a2（b2-1）=0．由于直线l与椭圆相切，知△=（-2a2b）2-4a2（1+a2） （b2-1）=0，由此能够证明b2-a2=1．
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为．因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，由此能求出直线l的方程．
（3）由．因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x-x）2+（y-r）2=r2（r＞0）．再由圆M在矩形及其内部和圆M与 l相切，且圆M在l上方，能够求出面积最大的圆M的方程．
证明：（1）题设椭圆的方程为．…（1分）
由消去y得（1+a2）x2-2a2bx+a2（b2-1）=0．…（2分）
由于直线l与椭圆相切，故△=（-2a2b）2-4a2（1+a2） （b2-1）=0，
化简得b2-a2=1．①…（4分）
【解析】
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中点为．…（5分）
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，
即f（x），亦即2b-a=2．②…（6分）
由①②解得，故直线l的方程为．…（8分）
【解析】
（3）由（2）知．
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x-x）2+（y-r）2=r2（r＞0）．…（9分）
因为圆M在矩形及其内部，所以④…（10分）
圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即．
…（12分）
代入④得即．…（13分）
所以圆M面积最大时，，这时，．
故圆M面积最大时的方程为．…（15分）