Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD．

Answer

先根据条件得到OD=OC=1，BO=AO=2；再建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设出点M的坐标；结合P，M，C三点共线得到关于点M的坐标的一个等量关系；再结合PC⊥平面BMD求出关于点M的坐标的另一个等量关系即可求出点M的坐标，进而判断出其所在位置．
【解析】
∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥BD 
又PB⊥PD，BO=0，PO=
由平面几何知识得：OD=OC=1，BO=AO=2
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），
D（0，-1，0），P（0，0，）
设M（x，0，z），
由于P，M，C三点共线，
得，
即
由对应系数成比例有，
则
∵PC⊥平面BMD，
∴，
∴
得，
所以
∴
故
则M点是靠近C点的三等分点．