Question

如图（1），在直角梯形ACC₁A₁中，∠CAA₁=90°，AA₁∥CC₁，AA₁=4，AC=3，CC₁=1，点B在线段AC上，AB=2BC，BB₁∥AA₁，且BB₁交A₁C₁于点B₁．现将梯形ACC₁A₁沿直线BB₁折成二面角A-BB₁-C，设其大小为θ．
（1）在上述折叠过程中，若90°≤θ≤180°，请你动手实验并直接写出直线A₁B₁与平面BCC₁B₁所成角的取值范围．（不必证明）；
（2）当θ=90°时，连接AC、A₁C₁、AC₁，得到如图（2）所示的几何体ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M为线段AC₁的中点，求证：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）记平面A₁B₁C₁与平面BCC₁B₁所成的二面角为α（0＜α≤90°），求cosa的值．

Answer

（1）根据变换过程可直接得角的范围为：；
（2）（i）先根据条件得到BB1⊥平面ABC以及AC⊥BC；建立空间直角坐标系；求出各对应点的坐标；以及平面A1B1C1的一个法向量的坐标，再结合的结果即可得到结论；
（ii）分别求出两个平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．（注意角的范围限制）
【解析】
（1）直线A1B1与平面BCC1B1所成的角的范围为：；
（2）（i）∵B1B⊥BC，B1B⊥BA，BC∩BA=B
∴BB1⊥平面ABC（5分）
∵θ=90°，∴AC⊥BC
以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图（4）
则A （0，2，0），C（1，0，0），A1（0，2，4），C1（1，0，1），B1（0，0，2）（6分）
∴=（1，0，-1），=（0，2，2），
设平面A1B1C1的一个法向量为=（x，y，z），
则⇒取=（1，-1，1）．
∵M（，1，），∴=（，1，）．
∴=-1=0．
又BM不在平面A1B1C1内；
故BM∥平面A1B1C1．
（ii）平面A1B1C1的一个法向量为=（1，-1，1）；
平面B1C1CB的法向量=（0，1，0）
∴cos＜＞==-．
又因为0＜α≤90；
∴α=π-＜＞．
所以：cosα=．