设P（x1，y1），Q（x2，y2）为椭圆上两个不同的动点，圆O的方程为x2+y...

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为椭圆 manfen5.com 满分网

上两个不同的动点，圆O的方程为x²+y²=a²．
（1）如图，若向圆O内随机投一点A，点A落在椭圆C的概率为 manfen5.com 满分网

，椭圆C上的动点到其焦点的最近距离为 manfen5.com 满分网

．椭圆C的面积为πab．
（i）求椭圆C的标准方程；
（ii）若点B（0，1）且 manfen5.com 满分网

，求直线OP的低斜率；
（2）若直线OP和OQ的斜率之积为 manfen5.com 满分网

，请探点M（x₁，x₂）与圆O的位置关系，并说明理由．

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（1）（i）由已知得，又a2=b2+c2，由此能得到椭圆C的方程．（ii）由，得（-x2，1-y2）=（x1，y1），所以，结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0，），由此能求出直线OP的斜率．（2）设OP方程为y=kx，代入，得，由，得，所以=a2，由此知点M（x1，x2）在圆O：x2+y2=a2上．【解析】（1）（i）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1， ∴椭圆C的方程为．（ii）由，得（-x2，1-y2）=（x1，y1）， ∴，结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0，），故直线PQ的方程为，从而得， ∴．（2）由题意知直线OP的斜率存在，设其方程为y=kx，代入，整理，得① 由，用代替①中的k，得， ∴=a2， ∴点M（x1，x2）在圆O：x2+y2=a2上．

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考点分析：

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（1）在上述折叠过程中，若90°≤θ≤180°，请你动手实验并直接写出直线A₁B₁与平面BCC₁B₁所成角的取值范围．（不必证明）；
（2）当θ=90°时，连接AC、A₁C₁、AC₁，得到如图（2）所示的几何体ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M为线段AC₁的中点，求证：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）记平面A₁B₁C₁与平面BCC₁B₁所成的二面角为α（0＜α≤90°），求cosa的值．
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③当m，n分别与a，b对应共线时，满足c=m+2n的向量m，n不存在；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等