Question

过点O引三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，则有（ ）
A．cosα=cosθ•cosβ
B．cosβ=cosθ•cosα
C．sinα=sinθ•sinβ
D．sinβ=sinθ•sinα

Answer

根据平面AOB⊥平面BOC，我们可以构造直角三角形，不妨设A′B垂直平面BOC，C′B垂直平面AOB．则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，从而在直角三角形中，利用三角函数表示出相应的边，根据余弦定理：OA′2+OC′2-A′C′2=2OA′×OC′×cosβ，AC′2=A′B2+BC′2，将相应的边代入化简即可．
【解析】
平面AOB⊥平面BOC，我们设A′B垂直平面BOC′，C′B垂直平面AOB′．
则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，∠A′OB=θ，∠A′OC′=β，∠BOC′=α
那么就有：OB=OA′cosθ=OC′cosα．A′B=OA′sinθ，BC′=OC′sinα．
根据余弦定理：OA′2+OC′2-A′C′2=2OA′×OC′×cosβ，AC′2=A′B2+BC′2
所以：OA′2+0C′2-[（OA′sinθ）2+（OC′sinα）2]=2OA′×OC′×cosβ…（*）
∵OB=OA′cosθ=OC′cosα
∴OA′=，代入（*）中．可以得到：
cosβ=cosθcosα
故选B．