Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠CDA=∠DAB=90°CD=1，AD=2，AB=4，且∠APD=30°，M为PB的中点．
①求证：PB⊥平面AMC；
②求直线AM与平面PAD所成的角；
③求点A到平面PBC的距离．

Answer

①根据∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°，故以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为Z轴建立空间坐标系，根据条件求出向量，，，从而根据得PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A，根据线面垂直的判定定理可得结论；
②平面PAD的法向量为，根据可求出AM与DC所成的角，从而求出PM与平面PAD所成的角；
③设平面PBC的法向量为，根据法向量与、垂直求出，又=（0，-4，0）根据cos＜，＞=可求出AB与平面PBC的所成角的正弦值，从而点A到平面PBC的距离．
【解析】
①因∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°
故以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为Z
轴建立空间坐标系
因∠ADP=30°，AD=2，
∴PD=，又∠DAB=90°，
从而有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0）
C（0，1，0），P（0，0，2）
∴M（1，2，）
则
从而，
∴PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A
故PB⊥平面AMC…（5分）
②平面PAD的法向量为

即AM与DC所成的角为45°，故PM与平面PAD所成的角为45°…（9分）
③设平面PBC的法向量为
由
取，
∴
又=（0，-4，0）则cos＜，＞==
则AB与平面PBC的所成角的正弦值为
从而点A到平面PBC的距离为…（14分）