Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，数列{a_n+1-a_n}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，
（3）求证：当．

Answer

（1）an+1-2an=（a2-2a1）（-1）n-1=3（-1）n，an+1+an=（a2+a1）•2n-1=3•2n，由两式相减能求出数列{an}的通项公式．
（2）当k为正奇数时，，通分之后能够得到．
（3）把等价转化为，由（2）知＜，由此利用等比数列的求和公式能够证明：当．
（1）【解析】
在数列{an}中，a1=3，a2=3，
∵数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，
∴an+1+an=（a2+a1）•2n-1=3•2n，①
∵数列{an+1-2an}是公比为-1的等比数列，
∴an+1-2an=（a2-2a1）（-1）n-1=3（-1）n，②
①-②得3an=3•2n+3•（-1）n-1，
∴an=2n+（-1）n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，

=，
∴当k为正奇数时，…（8分）
（3）证明：当n∈N*时，
∵，
∴
=
＜
=3×
=＜1．