Question

曲线C是中心在原点，焦点为的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

Answer

（1）可设曲线C的方程为，由题意可得，a=2b，a2+b2=5，从而可求a，b，进而可求曲线C的方程
（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由，，由方程的根与系数关系及=（x1-2）（x2-2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，代入可求得k，m之间的关系则直线l由直线方程的点斜式可求直线所过的定点；当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，，由，代入可求
【解析】
（1）设曲线C的方程为
∵一条渐近线方程是，c=
∴a=2b，a2+b2=c2=5
∴a=2，b=1
故所求曲线C的方程是…（5分）
（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由，
此时1-4k2≠0
∴…（7分）
由
=（x1-2）（x2-2）+（kx1+m）（kx2+m）=0
∴（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0
（1+k2）•+（km-2）•+m2+4=0
整理有…（10分）
当m=-2k时，直线L过点E，不合题意
当m=-，则直线l的方程为
则直线l过定点（）…（12分）
②当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，
由，
有
从而有．此时直线L过点
故直线l过定点…（15分）