Question

已知函数上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．

Answer

（1）由在（1，+∞）上恒成立，知a≤x2在（1，+∞）上恒成立，故a≤1．由在（1，+∞）上恒成立，知在（1，+∞）上恒成立．故a≥1．由此能求出a．
（2）依题意可知，只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；由y=-f（x）=在[1，m]上为减函数，g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数，知．由此能够证明总存在x2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0．
【解析】
（1）在（1，+∞）上恒成立，
则a≤x2在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．…（3分）
又在（1，+∞）上恒成立，
则在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥1．…（5分）
从而为a=1…（7分）
（2）依题意可知，证明对于任意的x1∈[1，m]（m＞1），
总存在x2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0．
只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．
设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；
由（1）可知y=-f（x）=在[1，m]上为减函数，
g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数
∴…（10分）
设
则∵x＞1，
∴，
∴y=ϕ（x）在（1，+∞）上为增函数
∵m＞1，
∴ϕ（m）＞ϕ（1）=0
∴
∴…（14分）
∴M⊆N，即对于任意的x1[1，m]（m＞1）
总存在x2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0…（15分）