Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）试判断F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．

Answer

（1）先得到F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2），由于不是基本函数，所以用导数法证明其单调性．
（2）本题即证明不等式即为成立，由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，可知F（x）＞0即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，变形可得，令构造不等式即可．
【解析】
（1）∵F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2），（1分）
∴，（3分）
∴x＞1时F'（x）＞0，x=1时F'（x）=0；
∴函数F（x）在[1，+∞）上为增函数．（5分）
（2）由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，
∴F（x）＞0；（7分）
即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，
∴（﹡）（9分）
令，
∵0＜a＜b，
∴，（11分）
∴由（﹡）式得，
即为；（13分）
∵函数f（x）=lnx（a≤x≤b）的值域为[lna，lnb]，
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度为lnb-lna，（15分）
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于．（16分）