Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，CB=CD=2 ，AA₁=，AB⊥BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（3）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer

（1）由四棱柱的结构牲，可得AC是A1C在平面ABCD上的射影，及AC⊥BD，由三垂线定理可得BD⊥A1C；
（2）连接A1E，C1E，我们根据二面角的定义可得∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角，解△A1EC1，即可求出二面角A1-BD-C1的大小；
（ 3）过B作BF∥AD交CD于F，则∠FBC1为异面直线AD与BC所成角，解Rt△BCF，即可求出异面直线AD与BC所成角的余弦值．
【解析】
（1）∵棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，
∴AA1⊥平面ABCD，
又AB=AD，CB=CD，
故△ABC≌△ADC
则∠BAC=∠DAC
故AE为等腰△BAD中顶角的角平分线
故AE⊥BD
即AC⊥BD，AC是A1C在平面ABCD上的射影，由三垂线定理知A1C⊥BD                              …（4分）
（2）连接A1E，C1E，
∵E为AC与BD的交点且AC⊥BD，
∴A1E⊥BD，C1E⊥BD，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角，…（6分）
∵AB⊥BC，
∴AD⊥DC，
∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又∵A1D1=AD=2，D1C1=DC=2，A1A=，AC⊥BD，
∴A1C1=4，AE=1，EC=3，
∴A1E=2，C1E=2，
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，
∴∠A1EC1=90°，
∴二面角A1-BD-C1为90°                                …（10分）
（ 3）∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面CD1，过B作BF∥AD交CD于F，
则∠FBC1为所求的角，BF⊥平面CD1，
∵AD=AB=2，AD⊥DC，AC⊥BD，
∴CD=CB=2，
∴∠BCD=60°，
在Rt△BCF中，BF=BCsin60°=3，
∵BC1=，
∴cos∠FBC1==
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为                …（14分）