Question

如图，过抛物线y²=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1）²+y²=1于A，B，C，D，则•=    ．

Answer

抛物线y2=4x焦点F（1，0）恰好是圆（x-1）2+y2=1的圆心是（1，0），若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，
代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），由此能求出=1．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线方程与抛物线方程联立，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由韦达定理有x1x2=1，由抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，知||=||-||=x1，||=||-||=x2，由此能求出=1．
【解析】
∵抛物线y2=4x焦点F（1，0），p=2，
圆（x-1）2+y2=1的圆心是（1，0）半径r=1，
设A（x1，y1），D（x2，y2），
过抛物线y2=4x的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x-1）2+y2=1于点A，B，C，D，
A，D在圆上，B，C在抛物线上
1．若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，
代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），
所以，
=1．
2．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-1），
因为直线过抛物线的焦点（1，0）
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
由韦达定理有x1x2=1，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，
所以||=||=r=1，
从而有||=||-||=x1，
||=||-||=x2，
∵A，B，C，D四点共线，
∴=||•=x1x2=1．