Question

已知过椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是．（1）求椭圆C的离心率e与直线AB的方程；（2）对于任意一点M∈C，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式+sinθ成立．

Answer

（1）通过函数图象的一条对称轴的方程是．推出f（）=f（），利用取，整理得a=b，求出离心率，求出焦点坐标然后求出直线方程；
（2））利用与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量的基本定理，表示，设M（x，y），通过坐标运算，推出x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．代入椭圆方程，推出x1x2+3y1y2=0，由A，B两点在椭圆上，整理出λ2+μ2=1．根据圆的参数方程可知，总存在角θ，θ∈R使等式成立，就是+sinθ成立．
得到结论．
【解析】
（1）函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是．所以对任意的实数x都有f（）=f（），
取得f（0）=f（），整理得a=b，
则椭圆的方程为x2+3y2=3b2…①．
于是椭圆C的离心率e=====．
又椭圆的右焦点F（）
因为过椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线，
∴直线AB的方程为：y=x-．
（2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量的基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ．使得成立．
设M（x，y），则（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2+y2）．
∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．
又M∈C，代入①式得（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2，
展开整理得λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2…②
由AB的方程可知x1x2+3y1y2=
==3b2-9b2+6b2=0．
由A，B两点在椭圆上，所以x12+3y12=3b2．x22+3y22=3b2．
代入②式化简得λ2+μ2=1．
根据圆的参数方程可知，总存在角θ，θ∈R使等式成立．
即：+sinθ成立．
综上所述，对于任意一点M∈C，总存在角θ（θ∈R）使等式+sinθ成立．