Question

已知函数f（x）=-cosx，g（x）=ax-π．
（Ⅰ）若函数h（x）=g（x）-f（x）在x=时取得极值，求h（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）证明：对任意的x∈R，都有|f′（x）|≤|x|；
（Ⅲ）若a=2，x₁=a（a），g（x_n+1）=，求证：＜π（n∈N^×）

Answer

（I）先对函数h（x）=ax-π+cosx求导，由题意可得，可求a的值，然后分别令h′（x）＞0，h′（x）＜0，求出函数的单调区间
（II）构造函数F（x）=sinx-x，利用导数判断F（x）的单调性，分别就x≥0，x＜0进行F（x）的取值范围，从而证明．
（III）由g（xn+1）=可得，由（II）可得，利用此结论根据递推可证明．
【解析】
（I）h′（x）=a-sinx，函数h（x）=g（x）-f（x）在x=时取得极值
∴∴
当h′（x）＜0时，即时，
∴h（x）的单调递减区间是

（II）∵f（x）=-cosx∴f′（x）=sinx，设F1（x）=sinx-x，则F1′（x）=cosx-1≤0
所以F1（x）在R上是减函数，故当x≥0时，F1（x）≤F1（0）=0，即sinx≤x=|x|
又设F2（x）=sinx+x，则F2′（x）=cosx+1≥0
所以∴F2（x）在R上是增函数，故当x≥0时，F2（x）≥F2（0）=0
即sinx≥-x=-|x|
∴当x≥0，-|x|≤sinx≤|x|，f′（x）=|sinx|≤|x|
同理可证，当x＜0 时，|f′（x）|=|sinx|≤|x|
对任意的x∈R，都有|f′（x）|≤|x|

（III）
∵|
依据（II）有

…

故
∴

=
所以原不等式成立