Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）求二面角A-EG-D的正切值；
（Ⅲ） 求六面体ABCDEFG的体积．

Answer

（Ⅰ）设DG的中点为M，连接AM、FM，证明BF平行平面ACGD内的直线AM，即可证明BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）连接EG，取EG的中点O，连接DO，AO，则易得∠AOD为所求二面角的平面角，从而可求二面角A-EG-D的正切值；
（Ⅲ）利用V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG直接求五面体ABCDEFG的体积．
证明：（Ⅰ）设DG的中点为M，连接AM、FM，
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE
∴MF∥AB，且MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF∥AM，
又BF⊄平面ACGD 故BF∥平面ACGD
（Ⅱ）连接EG，取EG的中点O，连接DO，AO
∵DE=DG=2，∴
∵AD⊥平面DEFG，∴AO⊥EG
∴∠AOD为所求二面角的平面角
∵AD=2，∴
∴二面角A-EG-D的正切值为
（Ⅲ）V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG=DE×S△ADM+AD×S△MFG
==4．