Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）设c_n=log_aa_2n-1，求数列{a_2n•c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由Sn=a（Sn-an+1）可得Sn-1=a（Sn-1-an-1+1）（n≥2），利用递推公式an=Sn-Sn-1可得数列是等比数列，根据等比数列的通项公式可求
（II）由（I）可求an，Sn代入可求bn的通项，然后由数列bn为等比数列 可得b22=b1b3，从而可求a
（III）由Cn=logaa2n-1=2n-1可得a2n•Cn=（2n-1）•a2n，则Tn=a2+3a4+…+（2n-1）a2n，考虑利用错位相减可求和
【解析】
（I）∵Sn=a（Sn-an+1）
∴Sn-1=a（Sn-1-an-1+1）（n≥2）
两式相减可得，Sn-Sn-1=a（Sn-an+1-Sn-1+an-1-1）（n≥2）
即an=a[（Sn-Sn-1）-an+an-1]=a•an-1
∴（n≥2）
∵S1=a（s1-a1+1）
∴a1=a
∴数列{an}是以a为首项以a为公比的等比数列
∴an=an
（II）∵Sn=a（Sn-an+1）
∴Sn=a×
∴bn=an2+Sn•an=）
∵bn为等比数列∴b22=b1b3
∴=2a2•a3[
∵a≠0，a≠1
解可得
（III）∵Cn=logaa2n-1=2n-1，a2n•Cn=（2n-1）•a2n
∴Tn=a2+3a4+…+（2n-1）a2n
a2Tn=a4+3a6+…+（2n-3）a2n+（2n-1）•a2n+2
两式相减可得，（1-a2）Tn=a2+2（a4+a6+…+a2n）-（2n-1）•a2n+2
=

∴Tn=