Question

某中学开展“创建文明城市知识竞赛”活动，竞赛题由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有1个选项是正确的，要求学生在规定时间内通过笔试完成，且每道题必须选出一个选项（不得多选和不选），每道题选择正确得6分，选择错误得0分．已知学生甲对任一道题选择正确的概率是；学生乙由于未作准备，因此只能从每道题的4个选项中随机地选择1个．
（1）比较甲得66分的概率与乙得54分的概率的大小；
（2）就前两道题而言，求甲、乙两人得分之和不得低于18分的概率．

Answer

（1）依题意，甲得66分，即在20道题中答对11道题，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得其概率，又由题意，易得乙答对每一道题的概率都是，则乙得54分，即在20道题中答对9道题，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得其概率，比较可得答案；
（2）依题意，前两道题甲、乙得分之和不低于18分，即前两道题中甲乙两人一共最多错l道，由互斥事件概率的公式计算可得答案．
【解析】
（1）依题意，甲对任一道题选择正确的概率是，
甲得66分，即在20道题中答对11道题的概率为；
又由题意，乙从每道题的4个选项中随机地选择1个，则乙答对每一道题的概率都是，
则乙得54分，即在20道题中答对9道题的概率为
又由C2011=C209，则P1=P2，
故甲得66分的概率与乙得54分的概率一样大．
（2）依题意，前两道题甲、乙得分之和不低于18分，即前两道题中甲乙两人一共最多错l道，
即有三种情况，甲错1道，乙错1道，甲乙全部答对三种情况，
所求概率为