Question

设奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象在P（1，f（1））处的切线的斜率为-6．且x=2时，f（x）取得极值．
（1）求实数a、b、c、d的值；
（2）设函数f（x）的导函数为f'（x），函数g（x）的导函数，m∈（0，1），求函数g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当x∈[m+1，m+2]时，|g'（x）|≤m恒成立，试确定m的取值范围．

Answer

（1）利用y=f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x）恒成立，从而b=d=0，所以f（x）=ax3+cx．求导函数f'（x）=3ax2+c，利用P（1，f（1））处的切线的斜率为-6．且x=2时，f（x）取得极值，可得f′（1）=-6，f′（2）=0，从而可得实数a、b、c、d的值；
（2）先求得g′（x）=-x2+4mx-3m2，m∈（0，1），再画出表格，从而确定函数g（x）的单调区间；
（3）由|g′（x）|≤m，得-m≤x2+4mx-3m2≤m，根据0＜m＜1，可得m+1＞2m，从而g′（x）=-x2+4mx-3m2在[m+1，m+2]上为减函数，故可求[g′（x）]max；[g′（x）]min．从而可得不等式，故可求m的取值范围．
【解析】
（1）∵y=f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d
∴b=d=0．
从而f（x）=ax3+cx．
∴f′（x）=3ax2+c…（2分）
又函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象在P（1，f（1））处的切线的斜率为-6，且x=2时，f（x）取得极值
∴f′（1）=-6，f′（2）=0，
∴
∴
∴，b=0，c=-8，d=0．
（2）依题意，g'（x）=-x2+4mx-3m2，m∈（0，1）．
令g'（x）=-x2+4mx-3m2=0，得x=m或x=3m．
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x （-∞，m） （m，3m） （3m，+∞）
g'（x）的符号 - + -
g（x）的单调性 递减 递增 递减

由表可知：当x∈（-∞，m）时，函数g（x）为减函数；当x∈（3m，+∞）时，函数g（x）也为减函数；当x∈（m，3m），函数g（x）为增函数．
∴函数g（x）的单调递增区间为（m，3m），单调递减区间为（-∞，m），（3m，+∞）．
…（2分）
（3）由|g'（x）|≤m，得-m≤x2+4mx-3m2≤m．
∵0＜m＜1，∴m+1＞2m．
∵函数g'（x）=-x2+4mx-3m2的对称轴为x=2m
∴g'（x）=-x2+4mx-3m2在[m+1，m+2]上为减函数．
∴[g'（x）]max=g'（m+1）=2m-1；[g'（x）]min=g'（m+2）=4m-4．…（2分）
于是，问题转化为求不等式的解．
解此不等式组，得．
又0＜m＜1，
∴所求m的取值范围是．…（2分）