Question

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（，0）、（，0），点A、N满足，，过点N且垂直于AF的直线交线段AE于点M，设点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l：y=k（x+1）（k≠0）对称，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S，对点B（1，0）和向量a=（，3k），求取最大值时直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）由，可知N为AF中点．则MN垂直平分AF．从而有=．即可得+=+==＞．根据椭圆的定义可知，点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆，可求椭圆方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点T（x0，y0）．由，两式相减可及y0=k（x0+1）可求，．由中点T（x0，y0）在椭圆内部可求k的范围（3）将y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆中，整理得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-3=0．设R（x3，y3），S（x4，y4）．则x3+x4=，x3x4=．y3y4=k2（x3+1）（x4+1）=k2（x3+x4+x3x4+1）=，代入已知向量的数量积可求k，进而可求直线方程．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴N为AF中点．
∴MN垂直平分AF．
∴．
∴+=+==＞．
∴点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆．…（2分）
∴长半轴，半焦距，
∴b2=a2-c2=1．
∴点M的轨迹方程为．…（2分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点T（x，y）．
由两式相减可得，
∴
∴
又y=k（x+1）
∴，．…（2分）
∵中点T（x，y）在椭圆内部，
∴
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
（3）将y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆中，整理得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-3=0．
设R（x3，y3），S（x4，y4）．
则x3+x4=，x3x4=．
∴y3y4=k2（x3+1）（x4+1）=k2（x3+x4+x3x4+1）=…（2分）
∴
=x3x4-（x3+x4）+1+y3y4-3-9k2
==．
当且仅当，即（0，1）时等号成立．
此时，直线l的方程为y=（x+1）．…（2分）