Question

某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i（i=1，2，3）次射击时击中目标得4-i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer

（Ⅰ）甲恰好射击两次说明第一次射中，第二次未射中，设选手甲第i次击中目标的事件为Ai（i=1，2，3），则，而Ai与Aj（i，j=1，2，3，i≠j）相互独立，从而求出所求；
（II）ξ可能取的值为0，3，5，6，然后求出相应的概率，得到ξ的分布列，最后根据离散型随机变量的期望公式解之即可．
【解析】
（Ⅰ）设选手甲第i次击中目标的事件为Ai（i=1，2，3），
则
依题可知：Ai与Aj（i，j=1，2，3，i≠j）相互独立
所求为：…（5分）
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，3，5，6．   …（6分）
ξ的分布列为：

ξ 3 5 6
P 0.2 0.16 0.128 0.512

…（10分）（表中的每一个概率值各占1分）
∴Eξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．…（12分）