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如图,在六面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,A...

如图,在六面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.
(Ⅰ)求证:BF∥平面ACGD;
(Ⅱ)求二面角A-EG-D的正切值;
(Ⅲ) 求六面体ABCDEFG的体积.

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(Ⅰ)设DG的中点为M,连接AM、FM,证明BF平行平面ACGD内的直线AM,即可证明BF∥平面ACGD; (Ⅱ)连接EG,取EG的中点O,连接DO,AO,则易得∠AOD为所求二面角的平面角,从而可求二面角A-EG-D的正切值; (Ⅲ)利用V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG直接求五面体ABCDEFG的体积. 证明:(Ⅰ)设DG的中点为M,连接AM、FM, 则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形, 所以MF∥DE,且MF=DE 又∵AB∥DE,且AB=DE ∴MF∥AB,且MF=AB ∴四边形ABMF是平行四边形,即BF∥AM, 又BF⊄平面ACGD 故BF∥平面ACGD (Ⅱ)连接EG,取EG的中点O,连接DO,AO ∵DE=DG=2,∴ ∵AD⊥平面DEFG,∴AO⊥EG ∴∠AOD为所求二面角的平面角 ∵AD=2,∴ ∴二面角A-EG-D的正切值为 (Ⅲ)V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG=DE×S△ADM+AD×S△MFG ==4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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