Question

在数列{a_n}中，，当n≥2时，有3a_n-2a_n-1+n+2=0，设b_n=a_n+n+1．
（I）求b₁，b₂；
（II）证明数列{b_n-1}是等比数列；
（III）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由bn=an+n+1及3an-2an-1+n+2=0把n=1，2分别代入可求
（II）由3an-2an-1+n+2=0得，3（an+n）=2（an-1+n-1），，即，从而可证
（III）由（I）可得从而可求，则=，从而可利用裂项求和．
【解析】
（I）∵，bn=an+n+1∴
当n=2时，3a2-2a1+4=0可得
∴
（II）由3an-2an-1+n+2=0得，3（an+n）=2（an-1+n-1）
，n≥2即
∵
∴
（III）由（I）可得
∴2bn-1+1=3bn，所以
==
=