Question

甲、乙两人参加一项智力竞赛．在同一轮竞赛中，两人测试同一套试卷，成绩由次到优，依次分为“合格”，“良好”，“优秀”三个等级．根据以往成绩可知，甲取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.6，0.3，0.1；乙取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙两人参加竞赛的过程相互独立，且每个人的前后各轮次竞赛成绩互不影响．
（Ⅰ）求在一轮竞赛中甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮竞赛中，至少有两轮甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率．

Answer

记A1，A2分别表示甲取得良好、优秀，B1，B2分别表示乙取得合格、良好，A表示在一轮竞赛中，甲取得的成绩优于乙取得的成绩B表示在三轮竞赛中至少有两轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩，C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩．
（Ⅰ）即为事件A=A1•B1+A2•B1+A2•B2，发生，由相互独立事件的概率公式可求
（Ⅱ）即为事件B=C1+C2发生，利用相互独立事件的概率公式可求
【解析】
记A1，A2分别表示甲取得良好、优秀，B1，B2分别表示乙取得合格、良好，A表示在一轮竞赛中，甲取得的成绩优于乙取得的成绩B表示在三轮竞赛中至少有两轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩，C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩．则
（Ⅰ）A=A1•B1+A2•B1+A2•B2，（2分）
P（A）=P（A1•B1+A2•B1+A2•B2）=P（A1•B1）+P（A2•B1）+P（A2•B2）=P（A1）×P（B1）+P（A2）×P（B1）+P（A2）×P（B2）=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．（6分）
（Ⅱ）B=C1+C2，（8分）P（C1）=C32[P（A）]2[1-P（A）]=3×0.22×（1-0.2）=0.096，
P（C2）=[P（A）]3=0.23=0.008，
P（B）=P（C1+C2）=P（C1）+P（C2）=0.096+0.008=0.104．（12分）