Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=CC₁=2，E为棱AA₁的中点，F为棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CF与平面EFD₁所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）F为棱BB1上的中点，通过三垂线定理即可证明D1E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，通过点C到平面EFD1的距离等于点D到平面EFD1的距离的转化，然后求CF与平面EFD1所成角的大小．
【解析】
（Ⅰ）因为E为棱AA1的中点，当F为棱BB1上的中点，
因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，
∠BAD=∠ADC=90°，所以，点F在平面A1AD内的射影为点E，
直线DE⊂平面A1AD，
而D1E⊥DE，
由三垂线定理可知，DF⊥D1E，
∴D1E⊥DF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，F为棱BB1上的中点，
∴EF∥AB，AB∥CD，
∴CD∥EF，CD⊄平面EFD1，EF⊂平面EFD1
∴CD∥平面EFD1，
∴点C到平面EFD1的距离等于点D到平面EFD1的距离，
∵AE=1，AD=1，DE=，
即点C到平面EFD1的距离为．
CF==．
∴sinθ==，又，
∴θ=arcsin．
CF与平面EFD1所成角的大小为arcsin．