Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（x）取得极大值，且函数y=f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设，求证：．

Answer

（Ⅰ）通过函数y=f（x）为奇函数，求出 b=d=0，当x=-1时f（x）取得极大值，导数为0，求出a，c，即可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出xn的范围，推出，类比求出，即，即可求证：．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ） 由f（x）为奇函数知 b=d=0…2′
又f′（-1）=0且f（-1）=∴f（x）=…4′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x2-1
∵，…6′
因为当时，f′（x）=x2-1＜0，即函数f（x）在上递减∴，即…8′
又，…10′
又因为当时，f′（x）=x2-1＞0，即函数f（x）在上递增；
当时，f′（x）=x2-1＜0，即函数f（x）在上递减
∵，∴
∴，
即：…12′
∴…13′