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在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,∠CDA=∠DAB=90°CD=1,...

在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,∠CDA=∠DAB=90°CD=1,AD=2,AB=4,且∠APD=30°,M为PB的中点.
①求证:PB⊥平面AMC;
②求直线AM与平面PAD所成的角;
③求点A到平面PBC的距离.

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①根据∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°,故以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为Z轴建立空间坐标系,根据条件求出向量,,,从而根据得PB⊥AC,PB⊥AM,而AC∩AM=A,根据线面垂直的判定定理可得结论; ②平面PAD的法向量为,根据可求出AM与DC所成的角,从而求出PM与平面PAD所成的角; ③设平面PBC的法向量为,根据法向量与、垂直求出,又=(0,-4,0)根据cos<,>=可求出AB与平面PBC的所成角的正弦值,从而点A到平面PBC的距离. 【解析】 ①因∠PDC=∠PDA=∠CDA=90° 故以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为Z 轴建立空间坐标系 因∠ADP=30°,AD=2, ∴PD=,又∠DAB=90°, 从而有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0) C(0,1,0),P(0,0,2) ∴M(1,2,) 则 从而, ∴PB⊥AC,PB⊥AM,而AC∩AM=A 故PB⊥平面AMC…(5分) ②平面PAD的法向量为 即AM与DC所成的角为45°,故PM与平面PAD所成的角为45°…(9分) ③设平面PBC的法向量为 由 取, ∴ 又=(0,-4,0)则cos<,>== 则AB与平面PBC的所成角的正弦值为 从而点A到平面PBC的距离为…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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