Question

当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，…，设S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），则S_n=    ．

Answer

由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，进而可得，奇数项的和；当x是偶数时，可利用数学归纳法推断出偶数项的和．因此由这样一个性质，我们就可将Sn进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加．
【解析】
由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，当x是偶数时，参看下面的讨论，
因此由这样一个性质，我们就可将Sn进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即Sn=S奇+S偶，
∴S奇=N（1）+N（3）+…+N（2n-1）=1+3+…2n-1==4n-1
当x是偶数时，且x∈[2k，2k+1）①当k=1时，x∈[2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T1=1
②当k=2时，x∈[4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T2=1+3=4
③当k=3时，x∈[8，16），该区间包含的偶数为8，10．，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T3=1+3+5+7=16，因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2k，2k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和Tk=4k-1．
∴对k从1到n-1求和得T1+T2+…+Tn-1=
∴S偶=T1+T2+…+Tn-1+N（2n）=
综上可知Sn=S奇+S偶=4n-1+=
故答案为