Question

如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，．点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠AMN=θ．
（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（2）在△AMN中，若，求线段A'N长度的最小值．

Answer

（1）设MA=MA'=x，则MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N长度的最小值，即求线段AN长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．
【解析】
（1）设MA=MA'=x，则MB=1-x．
在Rt△MBA'中，，
∴．
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A'点和B点不重合，
∴45°＜θ＜90°．
（2）∵，
∴∠MAN=60°，在△AMN中∠ANM=120°-θ，，
=．
令
=
=．
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°．
当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，
∴θ=60°时，A'N有最小值．